一度认为解释这个现象最好的方法是科斯定理，用最简单的话来解释就是：只要财产权是明确的，并且交易成为零或者很小，那么，无论在开始时将财产权赋予谁，市场均衡的最终结果都是有效率的，实现资源配置的佩雷托最优。换句话说这里的公共牧场虽几乎没有交易费用，任何人都可以拉一批羊进来放牧，但是因为这块地并没有划定特属的产权，就很难实现资源的优化配置，很难合理利用这块牧场。大概一个月前看到Matrix67的文章http://www.matrix67.com/blog/archives/2935，原来这个问题只要用最简单的数学推导，就可以轻松得证。虽然可能过程并不特别严谨，但的的确确很有启发。这也正好让我联系到最近发生在寝室的事。
9.2晚我回到寝室，空无一人，但是寝室卫生出奇的好，地面整洁不必说，连便具都被刷得干干净净。想起大概半个多月前，寝室4人齐整时的卫生状况简直是云泥之别。这几日住寝室的只有LG，虽然他要早出晚归准备考研，但这卫生必是他清理保持的。不过，寝室阳台的状况没有改变，垃圾依旧堆积如山，地面也积着厚厚的污垢。于是，一来闲着无事独自一人，二来实在觉得这阳台太碍眼太恶心，心血来潮的我花了一个多小时打包垃圾，冲刷地面，顺便再把寝室里里外外拖了一遍。打扫时我一直在想，是不是多人寝室卫生（尤其男生）脏乱也是可以用数学解释的，是否同样大小的寝室如果由一人独占并负责卫生，总体卫生状况会好一点？
为了用数字来说明这一情况，我们首先做一些假设。
1. 共有未处理随意丢弃于寝室地面的垃圾数量X。
2. 不清理垃圾时，垃圾的数量与时间成正比。
3. 寝室成员总效用为Y，分为2部分，一是不清理垃圾所节省的时间精力效用（可为负），二是如果保持清洁带来的舒适效用（可为负），两者数量和。
4. 每清洁处理1单位垃圾所耗成本为C（单位：同效用）
如此一来，寝室成员的总效用Y与垃圾数量X之间可以近似地看做是一个单峰函数的关系。解释一下，如果寝室里每时每刻都保持垃圾数X为 0 ，那么就需要寝室里的人每时每刻保持清洁，需要花费大量的时间精力做好清洁工作，此负效用与舒适度正效用数量和假设正好相抵（不等也可，为方便起见），即总效用也为0；如果寝室垃圾数为10时，节省清理垃圾的时间精力正效用与不舒适的负效用相等，总效用也等于0。那么我们便可把模型简化为总效用 y 与垃圾数量 x 满足 y = x(10-x) 的关系，即当寝室里的垃圾数为 0 或者为 10 时整个寝室成员都没有任何效用。而在此简单模型里，一定存在某一点，既能得到节省精力带来的效用，又能得到还不错的舒适效用，两者的效用和达到最高值。这个点就是5，一旦垃圾数超过5了，那么舒适效用减少的量就大于节省精力增加的量，两者效用和不再是最高了，同理垃圾数小于5的情况。
我们的命题是单人寝室和多人寝室，哪种寝室更能够保持清洁。而保持清洁的意思在于当垃圾数量到达一定程度时能及时清理干净，那整个命题就可以转化为哪个寝室能够在积累的垃圾数更少时进行清理，同时获得的总效用最高。
如果这是一人寝室，考虑到垃圾堆积以及清理整个过程，效用函数应为 x(10-x) - cx 。对这个式子求导，我们就能得到效用最大化的条件： 10-2x-c = 0 。解出这个式子中的 x ，我们就得出了x = (10-c)/2 。从另一个角度来看，上述结论也是很显然的： 10-2x 恰好就是 x(10-x) 的导数，是增加第 x 份垃圾给人带来的效用增加量。如果这个增加量比打扫成本c 大，那么扔一份垃圾显然划算；因此，临界点x = (10-c)/2，正好就是单人寝室到达应该清理时的垃圾数量。
但是，一旦寝室有多位成员，上述推理就不对了，因为单个寝室成员并不真正关心整个寝室所有人的利益，只在乎自己的得失，只按照自己的效用多寡来支配自己的行为。为了简便起见，假设寝室有 x 个成员，每个人都只扔1份垃圾。那么，寝室的总效用不变仍然为 x(10-x) ，每个人得到的效用为 x(10-x)/x = 10-x 。因此，当寝室里有 x-1 份垃圾时，第 x 个寝室成员扔一份垃圾，能够分得的效用为 10-x ，只要这个值比 c 大，这样做就是值得的。其他人也还可以再继续往寝室里垃圾，但是每扔一份垃圾，他们会发现所能得到的效用越来越少，最终当 10-x = c 时，便到达所谓应该清理的垃圾数量。
此图可以明显的看出单人寝室到达该清理垃圾的数量明显小于多人寝室，也就是说单人寝室似乎更能保持清洁。
当然这些都是忽略很多现实情况，用最最简单的模型模拟出来的情况，保不齐寝室里有个人心血来潮，独自一人每天大扫除一番也说不定~
